大多數金屬都不是純彈性或純塑性材料

，在冷卻過程中往往會發生塑性至彈性的轉變。以鑄鐵為例，這個塑性-彈性轉變溫度區間為700-400℃。

    現以厚薄不均勻的T型梁（圖2-1）為例來討論殘餘應力的形成過程。T型梁鑄件由較厚的杆Ⅰ和較薄的杆Ⅱ組成。為了簡化分析，需作以下假設：

    1.兩杆有同一溫度 tn 開始冷卻，最後冷卻至同一溫度t0

     2.合金的塑——彈性轉變是在一個臨界溫度tk下發生的。高於tk合金處於塑性狀態；低於tk合金處於彈性狀態；

    3.冷卻過程中不發生相變，鑄件的收縮不受鑄型阻礙

；

    4.材料的線膨脹係數α和彈性模量為一常數，不隨溫度變化
；

    5.杆Ⅰ和.杆Ⅱ之間無熱交換

    圖2-1a示出杆Ⅰ和杆Ⅱ的冷卻曲線（t--τ）。開始冷卻時兩杆溫度均為tH，冷卻至最後的溫度均為t0.由於杆Ⅱ比杆Ⅰ薄。故開始冷卻時杆Ⅱ比杆Ⅰ冷卻快；後期，杆Ⅰ的冷卻速度比杆Ⅱ快。

   由於假定線膨脹（收縮）係數為一常數，故鑄件在各個溫度時的自由收縮量ξ與溫度成正比
，線收縮曲線（ξ——τ）在外形上與冷卻曲線（t--τ）一致（圖3-1b）.虛線C0C3是兩杆聯在一起時實際的（即T型梁鑄件的）線收縮曲線。

如果T型梁鑄件在應力作用下不產生彎曲變形，則兩杆中的殘餘熱應力與所產生的彈性變形（）有關。以σⅠ、σⅡ表示杆Ⅰ和杆Ⅱ的應力
；F1和F2表示兩杆的截麵積，則
杆Ⅰ所受拉力為PⅠ=σⅠF1
杆Ⅱ所受拉力為PⅡ=σⅡFⅡ
由杆係中各力平衡∑p=0，有σⅠF1=σⅡFⅡ（1-1）

假設材料在拉伸和壓縮時彈性模量相等，其值為E,則根據虎克定律：σⅠ=EξⅠ   σⅡ=EξⅡ

由圖1-3可知，兩杆長度的差值a3b3=ξⅠξⅡ，其值與杆Ⅰ溫度為tk時兩杆的溫度差（tⅠ -tⅡ）稱正比，即ξ1ξ1Ⅰ=a•（tⅠ -tⅡ）

或σⅠσⅡ=E•a•（tⅠ -tⅡ）   （1-2）   或式（1-2）與 式（1-3） 聯立，可得：

杆Ⅰ的拉應力：σⅠ=FⅡE•a•（tⅠ -tⅡ）/（FⅠ+FⅡ） （1-3）

杆Ⅱ的拉應力：σⅡ=FⅠE•a•（tⅠ -tⅡ）/（FⅠ+FⅡ） （1-4）

由式（1-4）可以看出

，鑄造應力與粗、細杆的麵積，材料的線膨脹係數和粗杆到塑—彈性轉變溫度時粗細杆的溫度有關。

由上所述，可以知道鑄件熱應力的形機理：在zai金jin屬shu冷leng卻que過guo程cheng中zhong，由you塑su性xing狀zhuang態tai轉zhuan變bian為wei彈dan性xing狀zhuang態tai時shi，壁bi厚hou不bu同tong的de部bu分fen進jin入ru彈dan性xing狀zhuang態tai的de先xian後hou不bu同tong
，產chan生sheng了le不bu均jun勻yun的de塑su性xing變bian形xing。當dang鑄zhu件jian厚hou壁bi均jun為wei彈dan性xing狀zhuang態tai時shi，這zhe個ge塑su性xing變bian形xing差cha值zhi需xu要yao靠kao產chan生sheng的de彈dan性xing變bian形xing來lai補bu償chang，這zhe樣yang就jiu使shi鑄zhu件jian的de不bu同tong部bu位wei上shang產chan生sheng了le符fu號hao
、大小不同的殘餘應力。在高於或低於這個溫度區間內，冷卻速度對殘餘應力實際上沒有影響。